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MODEL / 预测

灰色预测 GM(1,1)

样本极少（约 $4\sim 10$ 个时点）、序列单调趋势明显、又无法用统计方法定阶的短期预测。

核心公式

\hat{x}^{(1)}(k+1)=\left(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}\right)e^{-ak}+\frac{b}{a}

Python 最小示例

下载 .py 文件 ↓

依赖见代码开头；示例在自己的 Python 环境运行，页面不执行代码。用于理解方法，正式参赛请补齐数据检验与误差分析。

Python · 灰色预测 GM(1,1)
# 依赖: numpy
import numpy as np

def gm11(x0, steps=2):
    x0 = np.asarray(x0, dtype=float)
    if x0.ndim != 1 or len(x0) < 4 or not np.isfinite(x0).all() or np.any(x0 <= 0):
        raise ValueError('需要至少 4 个有限的正数观测值')
    if not isinstance(steps, int) or steps < 0:
        raise ValueError('预测步数必须是非负整数')
    n = len(x0)
    ratio = x0[:-1] / x0[1:]
    lo, hi = np.exp(-2 / (n + 1)), np.exp(2 / (n + 1))
    if not np.all((ratio > lo) & (ratio < hi)):
        raise ValueError('级比未通过；先评估平移变换或改用其他模型')
    x1 = np.cumsum(x0)
    z1 = 0.5 * (x1[1:] + x1[:-1])
    a, b = np.linalg.lstsq(np.column_stack([-z1, np.ones(n-1)]), x0[1:], rcond=None)[0]
    k = np.arange(n + steps, dtype=float)
    # a 趋于 0 时使用连续极限，避免 b/a 导致除零。
    if abs(a) < 1e-10:
        x1_hat = x0[0] + b * k
    else:
        x1_hat = x0[0] * np.exp(-a*k) - b/a * np.expm1(-a*k)
    # 第一个观测值是初值，不能与自身作差而变成 0。
    return np.r_[x0[0], np.diff(x1_hat)]

print(np.round(gm11([2.8, 3.1, 3.4, 3.7, 4.1], steps=2), 3))

用它研究过哪些问题？

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